Filter Der Zweiten Ordnung

Ich muss einen gleitenden mittleren Filter mit einer Grenzfrequenz von 7,8 Hz entwerfen. Ich habe gleitende durchschnittliche Filter vor verwendet, aber soweit ich weiß, ist der einzige Parameter, der eingegeben werden kann, die Anzahl der zu durchschnittlichen Punkte. Wie kann sich dies auf eine Grenzfrequenz beziehen Die Inverse von 7,8 Hz beträgt 130 ms und Im arbeiten mit Daten, die bei 1000 Hz abgetastet werden. Bedeutet dies implizieren, dass ich sollte eine gleitende durchschnittliche Filter-Fenstergröße von 130 Proben verwenden, oder gibt es etwas anderes, das ich hier fehlte, ist der Filter, der in der Zeitdomäne zu entfernen verwendet wird Das Rauschen hinzugefügt und auch für Glättung Zweck, aber wenn Sie die gleiche gleitende durchschnittliche Filter im Frequenzbereich für Frequenztrennung dann Leistung wird am schlimmsten. So dass in diesem Fall nutzen Frequenzbereich Filter ndash user19373 Feb 3 16 at 5:53 Der gleitende Durchschnitt Filter (manchmal auch umgangssprachlich als Boxcar-Filter) hat eine rechteckige Impulsantwort: Oder anders ausgedrückt: Denken Sie daran, dass eine diskrete Zeit Frequenz Frequenzgang Gleich der diskreten Zeit-Fourier-Transformation ihrer Impulsantwort ist, können wir sie wie folgt berechnen: Was am meisten für Ihren Fall interessiert ist, ist die Amplitudenreaktion des Filters H (omega). Mit ein paar einfachen Manipulationen, können wir, dass in einer einfacher zu verstehen: Das sieht vielleicht nicht leichter zu verstehen. Allerdings wegen Eulers Identität. Erinnern, dass: Daher können wir schreiben, die oben als: Wie ich schon sagte, was Sie wirklich besorgt ist die Größe der Frequenzgang. So können wir die Größenordnung der oben genannten zu vereinfachen, um es weiter zu vereinfachen: Hinweis: Wir sind in der Lage, die exponentiellen Begriffe aus, weil sie nicht beeinflussen die Größe des Ergebnisses e 1 für alle Werte von Omega. Da xy xy für irgendwelche zwei endlichen komplexen Zahlen x und y ist, können wir schließen, daß die Anwesenheit der exponentiellen Terme die Gesamtgrößenreaktion nicht beeinflußt (sie beeinflussen die Systemphasenreaktion). Die resultierende Funktion innerhalb der Größenklammern ist eine Form eines Dirichlet-Kerns. Sie wird manchmal als periodische sinc-Funktion bezeichnet, weil sie der sinc-Funktion etwas im Aussehen ähnelt, aber stattdessen periodisch ist. Wie auch immer, da die Definition der Cutoff-Frequenz etwas unterspezifiziert ist (-3 dB Punkt -6 dB Punkt erste sidelobe Null), können Sie die obige Gleichung, um für was auch immer Sie brauchen, zu lösen. Im Einzelnen können Sie Folgendes tun: Stellen Sie H (omega) auf den Wert ein, der der Filterantwort entspricht, die Sie bei der Cutoff-Frequenz wünschen. Set Omega gleich der Cutoff-Frequenz. Um eine kontinuierliche Frequenz auf den diskreten Zeitbereich abzubilden, denken Sie daran, dass osga 2pi frac, wobei fs Ihre Abtastrate ist. Finden Sie den Wert von N, der Ihnen die beste Übereinstimmung zwischen der linken und der rechten Seite der Gleichung gibt. Das sollte die Länge des gleitenden Durchschnitts sein. Wenn N die Länge des gleitenden Mittelwerts ist, dann ist eine angenäherte Grenzfrequenz F (gültig für N gt 2) bei der normalisierten Frequenz Fffs: Der Kehrwert dieser Gleichung ist für große N asymptotisch korrekt und hat etwa 2 Fehler Für N2 und weniger als 0,5 für N4. P. S. Nach zwei Jahren, hier schließlich, was war der Ansatz folgte. Das Ergebnis beruht auf der Annäherung des MA-Amplitudenspektrums um f0 als Parabel (2. Ordnung) nach MA (Omega) ca. 1 (frac - frac) Omega2, die in der Nähe des Nulldurchgangs von MA (Omega) Frac durch Multiplikation von Omega mit einem Koeffizienten, der MA (Omega), ca. 10.907523 (frac-frac) Omega2 ergibt. Die Lösung von MA (Omega) - frac 0 liefert die obigen Ergebnisse, wobei 2pi F Omega. Alle der oben genannten bezieht sich auf die -3dB abgeschnitten Frequenz, das Thema dieser Post. Manchmal ist es zwar interessant, ein Dämpfungsprofil im Stoppband zu erhalten, das vergleichbar ist mit dem eines 1. Ordnung IIR-Tiefpaßfilters (Einpol-LPF) mit einer gegebenen -3dB Grenzfrequenz (ein solcher LPF wird auch Leaky-Integrator genannt, Mit einem Pol nicht genau an DC, aber nah an ihm). Tatsächlich haben sowohl das MA und das 1. Ordnung IIR LPF -20dBdecade Slope im Stopband (man braucht ein größeres N als das, das in der Figur verwendet wird, N32, um dies zu sehen), während aber MA spektrale Nullen bei FkN und a hat 1f Evelope hat das IIR-Filter nur ein 1f-Profil. Wenn man ein MA-Filter mit ähnlichen Rauschfilterungs-Fähigkeiten wie dieses IIR-Filter erhalten möchte und die gleichgeschnittenen 3dB-Grenzfrequenzen anpaßt, würde er beim Vergleich der beiden Spektren erkennen, daß die Stoppbandwelligkeit des MA-Filters endet 3dB unter dem des IIR-Filters. Um die gleiche Stoppbandwelligkeit (d. h. dieselbe Rauschleistungsdämpfung) wie das IIR-Filter zu erhalten, können die Formeln wie folgt modifiziert werden: Ich fand das Mathematica-Skript zurück, wo ich die Unterbrechung für mehrere Filter einschließlich des MA-Werts berechnete. Das Ergebnis basierte auf der Annäherung des MA-Spektrums um f0 als Parabel nach MA (Omega) Sin (OmegaN2) Sin (Omega2) Omega 2piF MA (F) ca. N16F2 (N-N3) pi2. Und Ableitung der Kreuzung mit 1sqrt von dort. Ndash Massimo Es ist bekannt, dass ein gleitender mittlerer Algorithmus, der im Zeitbereich ausgeführt wird, einem Filter mit Frequenzantwortmathem (omegatau) entspricht, wobei tau die Mittelungszeit ist. (Diesbezügliche Antwort) Dies hat die folgende vorteilhafte Eigenschaft: Sie streamen eine Zeitreihe von Daten, und der Durchschnitt an irgendeinem Punkt (an) ist gerade: an ein Frac frac. So können Sie den obigen rekursiven Algorithmus für eine beliebige Zeitdauer (tau) anwenden, und wenn Sie aufhören, wird der von Ihnen gesuchte Wert durch mathrm (omegatau) gefiltert und hat eine entsprechend reduzierte Varianz. Nun ist die Matrmmunktion ein Tiefpass erster Ordnung, moduliert durch eine sin-Hüllkurve. Sie haben also einen Tiefpass erster Ordnung gemacht, bei dem die charakteristische Tiefpasszeitkonstante tau gleich der Länge des Datenstroms ist und tau nicht unbedingt vorher bekannt war. Meine Frage ist: gibt es eine analoge Prozedur, die für einen (ungefähren) Tiefpass zweiter Ordnung erlaubt, wo die Zeitkonstante nicht bekannt ist a priori Eine Möglichkeit ist, die Durchschnittswerte zu durchschnittlich, aber das erfordert, dass alle Mittelwerte im Speicher behalten. Gibt es einige Gesetze, die eine solche Prozedur mit kleinen Speicheranforderungen verhindern können Sie die Durchschnittswerte auf die gleiche Weise wie Sie Ihr Eingangssignal Durchschnitt. Es kann durch dieselbe rekursive Prozedur durchgeführt werden, ohne alle Mittelwerte zu speichern. Die einzige Sache, die Sie tun müssen, ist, zwei Zahlen anstelle von einem zu speichern. Es sei xn die zu mittelnden Daten, und es sei yn die Ausgabe der ersten Mittelungsprozedur: ynalpha y (1-alpha) xn, quad 0ltalpha lt1 Die Anwendung derselben Rekursion (nur mit einer möglicherweise unterschiedlichen Zeitkonstante) ergibt sich Die endgültige Ausgabe zn: znbeta z (1-beta) yn, quad 0ltbeta lt1 Sie können auch die gesamte Prozedur als eine Rekursion zweiter Ordnung (Beseitigung von yn) schreiben: Sie haben also zweiter Ordnung rekursive Filter, die nur zwei hintere Ausgabe speichern muss Werte. Wenn Sie ein System zweiter Ordnung wünschen, ist dies der minimale Speicherplatz. Antwortete Mar 27 14 um 13:11 Diese Antwort wäre nicht möglich gewesen, ohne Matt L. s Antwort. Sowie einige Out-of-Band-Kommunikation mit nibot. Lets sehen einen Weg, um die Formel für die Berechnung der durchschnittlichen, die in der Frage gegeben ist. Ausgehend von einem Satz von Zahlen haben wir die Definition des Mittelwertes bis zur n-ten Stichprobe: eine frac sum n xj frac sn und sn die Summe aller Stichproben bis n. Nun kann sn rekursiv definiert werden: sns xn, und da nansn gegeben, haben wir: anfrac a frac. Und wir haben die Mittelung Formel aus der Frage. Nun wollen wir diese Mittelungsoperation grundsätzlich wieder auf den Proben durchführen. So wiederholen wir nur die gleiche Formel, aber jetzt für die Mittelwerte eines. Aber wir können a in d und d ersetzen. Und schließlich nach Vereinfachung Jetzt dieser Satz von Zahlen ist gleichbedeutend mit Mittelung der Mittelwerte und erfordert nur zwei gespeicherte Werte Unterhalb I Diagramm ein Signal, das zufällige Rauschen, wo die RMS ist 20-mal den Mittelwert. Ich zeige auch die Durchschnittswerte erster und zweiter Ordnung. Wie man sehen kann, dauert der Durchschnitt zweiter Ordnung länger, um sich dem wahren Mittelwert zu nähern, aber er hat kleinere Fluktuationen im Verhältnis zum Mittelwert. Die Fluktuationen werden kleiner, wenn mehr und mehr Abtastungen aufgezeichnet werden, so hat es den zusätzlichen Vorteil, dass die Zeitskala des effektiven Tiefpassfilters immer größer wird. Wenn dies ein einfaches Tiefpaßfilter mit einer festen Polfrequenz wäre, dann würden wir irgendwann Informationen von sehr alten Proben wegwerfen. Dieser Filter verwendet Informationen aus allen Proben, unabhängig davon, wie alt sie sind. Schließlich denke ich, dass dieses Rezept wiederholt werden kann und der Durchschnitt kann zu jedem möglichem Auftrag getan werden. Ja, Sie können ein Tiefpassfilter zweiter Ordnung ohne viel Arbeitsspeicher durchführen. Der Schlüssel ist, die Tatsache zu nutzen, dass die Faltung eine lineare Operation ist. Sie wollen folgendes tun: y (t) (x (t) f1 (t)) f2 (t) wobei f1 (t) und f2 (t) Ihre beiden gleitenden Durchschnittsfilter unbekannter a priori Breite sind. Wenn wir die assoziative Eigenschaft der Linearität verwenden, können wir Folgendes tun: y (t) (x (t) f1 (t)) f2 (t) x (t) (f1 (t) f2 (t)) Sie erstellen ein neues Indem Sie die beiden Mittelungsfilter zusammenfalten und dann diesen zusammengesetzten Filter verwenden, um Ihre Daten zu filtern. Antwort # 1 am: August 22, 2010, 09:10:13 am »Ich vermute, dass die Assoziationseigenschaft der Convolutionquot. Ndash Matt L. Mrz 26 14 um 21:06 Uhr MattL. Es ist mein Verständnis, dass Linearität Assoziativität impliziert. Ist dies nicht der Fall ndash Jim Clay Mar 26 14 at 21:50 Als ich Ihre Antwort zu lesen, war ich sicher, dass Sie eigentlich wollen, um quotassociative Eigentum von convolutionquot zu sagen, denn es ist immer eine Art von binären Operation, die entweder assoziativ oder nicht , Und Sie verwendeten die Assoziativität der Faltung. Ich denke, wir können nicht über die 39assoziative Eigenschaft der Linearität sprechen 39, weil 39linearity39 keine binäre Operation ist. Ich wollte nicht nervös sein, aber vielleicht war ich es auch. Aber jedenfalls ist Ihre Frage interessant (hinsichtlich der Beziehung zwischen Linearität und Assoziativität) und ich muss zugeben, dass ich keine befriedigende Antwort darauf habe. Ndash Matt L. Mar 27 14 um 11: 33SignalverarbeitungDigitale Filter Digitale Filter sind von essenziell abgetasteten Systemen. Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Abtastwerte mit gleichem Zeitabstand dargestellt. Finite Implulse Response (FIR) - Filter sind gekennzeichnet durch ein Zeitverhalten, das nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt: Sobald das Eingangssignal auf Null abgesunken ist, wird der Filterausgang nach einer bestimmten Anzahl von Abtastperioden das gleiche tun. Der Ausgang y (k) ist durch eine Linearkombination der letzten Eingangsabtastwerte x (k i) gegeben. Die Koeffizienten b (i) geben das Gewicht für die Kombination an. Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der Z-Domain-Filtertransferfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1: Bei linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um das mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter pocesses nur einen Zähler. Dies entspricht einem Nullfilter. FIR-Filter erfordern typischerweise hohe Ordnungen in der Größenordnung von einigen Hunderten. Somit benötigt die Wahl dieser Art von Filtern eine große Menge an Hardware oder CPU. Trotzdem ist ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen, die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, die in einigen Fällen eine Anforderung sein kann. Trotzdem hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit guter Phasenlinearität im Durchlaßband wie Bessel-Filter zu wählen. Oder ein Allpassfilter zu entwerfen, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter (MA) Edit Moving Average (MA) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: MA Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR Filtern. Durchschnittliche Filter Edit Ein Filter, der den Durchschnitt der N letzten Abtastwerte eines Signals berechnet. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch: Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters weist N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse auf. Die Null bei DC wird jedoch durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es eine größere Keule, die für das Filterdurchlassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter Edit Ein Kaskadiertes Integrator-Kammfilter (CIC) ist eine spezielle Technik zur Implementierung von Durchschnittsfiltern, die in Serie geschaltet werden. Die Serienplatzierung der mittleren Filter verstärkt den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N Durchschnittsfiltern, die jeweils den Durchschnitt von R M Abtastwerten berechnen. Seine Übertragungsfunktion ist folglich gegeben durch: CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder, anders ausgedrückt, ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz erneut abzutasten, wobei R 1 Abtastwerte aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wie viel von dem ersten Lappen durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N. Wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC herum. Die CIC-Struktur ermöglicht es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, wobei keine Multiplikatoren verwendet werden, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Eine Abwärtsabtastung mit dem Faktor R erlaubt die Erhöhung der Signalauflösung durch log 2 (R) (R) Bits. Kanonische Filter Bearbeiten Kanonische Filter implementieren eine Filtertransferfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie aktive Filter kanonische Strukturen zeigte sich diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten: eine kleine Änderung in Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich das Design von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung oder Leapfrog-Filtern verschoben. Kette der Sektionen der zweiten Ordnung Edit Eine Sektion zweiter Ordnung. Oft als Biquad bezeichnet. Implementiert eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise einem Paar von Nullen zugeordnet sind. Wenn die Übertragungsfunktionen ordnungsgemäß ungerade sind, muss ein erster Ordnungsteil zur Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist dem realen Pol und dem realen Nullpunkt zugeordnet, falls einer vorhanden ist. Direct-Form 1 Direct-Form 2 Direct-Form 1 Transponierte Direct-Form 2 transponiert Das von der folgenden Abbildung transponierte Direct-Formular 2 ist besonders interessant in Bezug auf die benötigte Hardware sowie die Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitale Leapfrog-Filter Filterstruktur bearbeiten Digitale Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern. Der Anreiz für diese Wahl ist, von den ausgezeichneten Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der ursprünglichen Leiter-Schaltung zu erben. Das folgende 4. Ordnung allpolige Tiefpass-Leapfrogfilter kann als digitale Schaltung implementiert werden, indem die analogen Integratoren durch Akkumulator ersetzt werden. Das Ersetzen der Analogintegratoren durch Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Umwandlung zu z 1 s T. Die die beiden ersten Terme der Taylorreihe von z e x p (s T) sind. Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transferfunktion Edit Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filters kann wie folgt geschrieben werden: Aus dieser Gleichung kann man die A, B, C, D Matrizen schreiben als: Aus dieser Darstellung lassen sich Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab grafisch darstellen Den Frequenzgang des Filters oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. In dem digitalen Leapfrog-Filter stellen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion (Butterworth, Chebyshev.) Ein, während ihre Amplituden die Grenzfrequenz einstellen. Das Dividieren aller Koeffizienten um einen Faktor von zwei verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave (auch einen Faktor von zwei) nach unten. Ein spezieller Fall ist das Buterworth-Filter 3. Ordnung, das Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 12 und 1 aufweist. Dadurch kann dieses Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden. Autoregressive Filter (AR) Edit Autoregressive (AR) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: Wo u (n) die Ausgabe des Modells ist, ist x (n) die Eingabe des Modells und u (n - m) sind vorherige Abtastwerte des Modellausgangswertes. Diese Filter werden autoregressiv genannt, da die Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgabewerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch ein Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA Filter Edit Autoregressive Moving-Average Filter (ARMA) sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern. Der Ausgang des Filters ist als Linearkombination sowohl der gewichteten Eingangs - als auch der gewichteten Ausgangssamples gegeben: ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter mit beiden Pole und Nullen betrachtet werden. AR-Filter werden in vielen Fällen bevorzugt, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA - und ARMA-Prozesse hingegen können durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Abgriff-Gewichtungskoeffizienten a (einen Vektor von a (n), a (n - 1).) Einen Eingang von x (n) haben. Und eine Ausgabe von y (n). Können wir die yule-walker Gleichungen verwenden. Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist. Wir behandeln das Eingangsdatensignal als Zufallssignal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert ist, bis wir ihn erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen folgendermaßen ausdrücken: wobei R die Kreuzkorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist und r die Autokorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist: Varianzbearbeitung Wir können zeigen: Wir können die Eingangssignalabweichung als: , Expandiert und ersetzt r (0). Können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen: